Только при n = 3.

В самом деле, если 2ⁿ + 1 = A^p, то

2ⁿ = A^p − 1 = (A − 1)(A^p−1 + A^p−2 + ... + A + 1).

Тогда A^p−1 + A^p−2 + ... + A + 1 — степень двойки, не равная 1, а поскольку A — нечётно, а указанная сумма чётна, то чётно количество слагаемых в ней. Пусть p = 2q. Тогда

2ⁿ = A^2q − 1 = (A^q − 1)(A^q + 1),

то есть A^q − 1 и A^q + 1 — степени двойки, причём отличающиеся на два. Следовательно, это два и четыре, то есть 2ⁿ = 8.