В клетках различных организмов обнаруживаются ферменты, способные делать разрывы в цепях ДНК. Зачем клеткам такие ферменты и почему они не разрушают всю клеточную ДНК?

С химической точки зрения все разрывы, о которых пойдет речь, — это разрушения фосфодиэфирной связи (ее структура схематично приведена в школьном учебнике). Разрывы и последующие воссоединения ДНК происходят во время многих процессов.
Разрывы в цепях ДНК неизбежны при репликации ДНК. Ведь две цепи ДНК многократно закручены одна вокруг другой. В вилке репликации они расходятся. Но поскольку цепи спирализованы, а их концы не свободны, то на самом деле при их расхождении нижняя часть молекулы будет скручиваться. Чтобы ликвидировать эти лишние витки, а, в конечном счете, и расцепить две образующие молекулы ДНК, необходимо разорвать цепи ДНК и воссоединить их. Один из способов этого — расплетать ДНК непосредственно перед вилкой репликации (для этого тоже надо разрезать одну цепь ДНК). Наглядно представить это можно, например, с помощью моделирования на обычной бельевой веревке.
Вообще спирализация и деспирализация ДНК очень важны. Это следует из описанной выше схемы. Из нее ясно, что степень спирализации связана с возможностью расхождения двух цепей в ДНК. А такое расхождение (хотя бы на небольшом участке) нужно и для транскрипции, и для рекомбинации, поэтому можно сказать, что и эти процессы будут угнетены, если в клетке не будет ферментов, вносящих в ДНК разрывы.
Во всех клетках идет репарация — замена неправильно спаренных нуклеотидов (или таких нуклеотидов, которые приняли неправильную структуру из-за внешних физико-химических воздействий). При репарации испорченный участок цепи ДНК вырезается и удаляется. Для этого нужны ферменты, разрезающие клеточную ДНК.