Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно параллельными сторонами


Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно параллельными сторонами.
Рейтинг: 5.0/1
Просмотров: 90 | Добавил: (27.04.2021) (Изменено: 27.04.2021)

Всего ответов: 1

Обсуждение вопроса:
Всего ответов: 1
Аватар
0

27.04.2021 оставил(а) комментарий:
Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°.

Дано: ∠АОВ, ∠А₁О₁В₁, ОА∥О₁А₁, ОВ∥О₁В₁.

Доказать: ∠АОВ = ∠А₁О₁В₁ или ∠АОВ + ∠А₁О₁В₁ = 180°.

Доказательство:

Если угол АОВ - развернутый, значит лучи ОА и ОВ будут лежать на одной прямой, при этом по условию ОА∥О₁А₁, ОВ∥О₁В₁, значит точки О₁А₁ и О₁В₁ также будут лежать на одной прямой, следовательно, ∠А₁О₁В₁ - будет развернутым, тогда ∠АОВ = ∠А₁О₁В₁ (Рис. 1).



Если угол АОВ - неразвернутый, то возможны два случая расположения углов АОВ и А₁О₁В₁.

1 случай




Прямая О₁В₁ пересекает прямую О₁А₁ и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М (следствие из аксиомы параллельных прямых). Параллельные прямые ОВ и О₁В₁ пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов (∠1), образованных при пересечении прямых О₁В₁ и ОА (Рис.2) равен углу АОВ, т.е. ∠1 = АОВ (по теореме о накрест лежащих углах). Параллельные прямые ОА и О₁А₁ пересечены секущей О₁М, поэтому ∠1 = ∠А₁О₁В₁.

Из равенств ∠1 = АОВ и ∠1 = ∠А₁О₁В₁1 следует, что ∠АОВ = ∠А₁О₁В₁.

2 случай



Прямая О₁В₁ пересекает прямую О₁А₁ и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М (следствие из аксиомы параллельных прямых). Параллельные прямые ОВ и О₁В₁ пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов (∠1), образованных при пересечении прямых О₁В₁ и ОА (Рис. 3) равен углу АОВ, т.е. ∠1 + ∠А₁О₁В₁ = 180° (по теореме об односторонних углах). Параллельные прямые ОА и О₁А₁ пересечены секущей О₁М, поэтому ∠1 = ∠А₁О₁В₁.

Из равенств ∠1 = ∠АОВ и ∠1 + ∠А₁О₁В₁ = 180° следует, что ∠АОВ + ∠А₁О₁В₁ = 180°. Что и требовалось доказать.
avatar