Главная » Вопросы » Школа » Геометрия

Докажите теорему Фалеса
Докажите теорему Фалеса.
Категория: Геометрия | Добавил: Ferst (23.11.2018)
Просмотров: 96 | Ответы: 1 | Рейтинг: 5.0/1
Ответов: 1
0 Люсси
23.11.2018 оставил(а) комментарий:
Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть A₁, A₂, A₃ - точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и A₂ лежит между A₁ и A₃. Пусть B₁, B₂, B₃ - соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если A₁A₂ = A₂A₃, то B₁B₂ = B₂B₃.



Проведём через точку B₂ прямую EF, параллельную прямой A₁A₃. По свойству параллелограмма A₁A₂ = FB₂, A₂A₃ = B₂E. И так как A₁A₂ = A₂A₃, то FB₂ = B₂E.
Треугольники B₂B₁F и B₂B3E равны по второму признаку. У них B₂F = B₂E по доказанному. Углы при вершине B₂ равны как вертикальные, а углы B₂FB₁ и B₂EB₃ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных A₁B₁ и A₃B₃ и секущей EF.
Из равенства треугольников следует равенство сторон: B₁B₂ = B₂B₃. Теорема доказана.

Замечание. В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет то же:
параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.
Иногда теорема Фалеса будет применяться и в такой форме.
avatar