Главная » Вопросы » Школа » Геометрия

Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом
Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом.
Категория: Геометрия | Добавил: аgent (23.11.2018)
Просмотров: 59 | Ответы: 1 | Рейтинг: 5.0/1
Ответов: 1
0 Biz-ledy
23.11.2018 оставил(а) комментарий:
Теорема. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

Доказательство. Пусть ABCD - данный четырёхугольник и O - точка пересечения его диагоналей.
Треугольники AOD и COB равны. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OD = OB и OA = OC по условию теоремы.



Значит,углы OBC и ODA равны. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказывается параллельность прямых AB и CD с помощью равенства треугольников AOB и COD.
Так как противолежащие стороны четырёхугольника параллельны, то по определению этот четырёхугольник - параллелограмм. Теорема доказана.
avatar