Главная » Вопросы » Школа » Геометрия

Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников
Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.
Категория: Геометрия | Добавил: netscout (01.11.2018)
Просмотров: 83 | Ответы: 3 | Рейтинг: 5.0/1
Ответов: 3
0 newsgg
01.11.2018 оставил(а) комментарий:
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Построим треугольник А₁В₁С₁, совместив равные стороны АС и А₁С₁ данных треугольников как на рисунке, так, чтобы вершины В и В₁ оказались по разные стороны от прямой АС.

Тогда ΔВАВ₁ равнобедренный и значит ∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного треугольника,

ΔВСВ₁ равнобедренный и ∠3 = ∠4, ⇒

∠АВС = ∠АВ₁С и значит ΔАВС = ΔА₁В₁С₁ по двум сторонам и углу между ними.

0 driven
01.11.2018 оставил(а) комментарий:
Теорема

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть треугольники ABC и A₁B₁C₁ такие, что AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁. Требуется доказать, что треугольники равны.
Допустим, что треугольники не равны. Тогда ∠ A ≠ ∠ A₁, ∠ B ≠ ∠ B₁, ∠ C ≠ ∠ C₁ одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку.

Пусть треугольник A₁B₁C₂ – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина С₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной С₁ относительно прямой A₁B₁.
Пусть D – середина отрезка С₁С₂. треугольники A₁C₁C₂ и B₁C₁C₂ равнобедренные с общим основанием С₁С₂. Поэтому их медианы A₁D и B₁D являются высотами. Значит, прямые A₁D и B₁D перпендикулярны прямой С₁С₂. Прямые A₁D и B₁D не совпадают, так как точки A₁, B₁, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой С₁С₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
0 Biz-ledy
21.11.2018 оставил(а) комментарий:
Третий признак равенства треугольников - Теорема (признак равенства треугольников по трём сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть ABC и A₁B₁C₁ – два треугольника, у которых AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁ (рис. 55).



Требуется доказать, что треугольники равны.
Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол A не = углу A₁, угол B не = углу B₁, угол C не = углу C₁. Иначе они были бы равны по первому признаку.
Пусть A₁B₁C₂ – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина C₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной C₁ относительно прямой A₁B₁ (см. рис. 55).
Пусть D – середина отрезка C₁C₂. Треугольники A₁C₁C₂ и B₁C₁C₂ – равнобедренные с общим основанием C₁C₂. Поэтому их медианы A₁D и B₁D являются высотами. Значит, прямые A₁D и B1D перпендикулярны прямой C₁C₂. Прямые A₁D и B₁D не совпадают, так как точки A₁, B₁, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой C₁C₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
avatar