Главная » Вопросы » Школа » Геометрия

Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника
Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.
Категория: Геометрия | Добавил: buzz (01.11.2018)
Просмотров: 137 | Ответы: 5 | Рейтинг: 5.0/1
Ответов: 5
0 Oleg74
01.11.2018 оставил(а) комментарий:
Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство.

Обратимся к рисунку, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD — его биссектриса.

Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников: AD - общая; углы 1 и 2 равны т.к. AD - биссектриса; AB = AC, т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и поэтому АD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.

0 Forget
01.11.2018 оставил(а) комментарий:
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию является медианой и высотой.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок ABC - равнобедренный треугольник с основанием BC, AD - его биссектриса.

Из равенства треугольников ABD и ACD следует что BC = DC и угол 3 = углу 4. Равенство BC = DC означает что точка D - середина стороны BC и поэтому AD - медиана треугольника ABC. Т. к углы 3 и 4 - смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок AD является также высотой треугольника ABC. Теорема доказанна.

0 Ninaarc
01.11.2018 оставил(а) комментарий:
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Дано:
∆ ABC,
AC = BC,
CF — биссектриса.

Доказать: CF — медиана и высота.



Рассмотрим треугольники ACF и BCF.



1) AC = BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника)).

2) ∠ACF = ∠BCF (так как CF — биссектриса по условию).

3) сторона CF — общая.

Значит, ∆ ACF=∆ BCF (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов.

Таким образом, AF=BF, следовательно, CF — медиана.

∠AFC = ∠BFC. А так как эти углы — смежные, значит, они прямые: ∠AFC = ∠BFC = 90º.

Значит, CF — высота.

Что и требовалось доказать.
0 spring
01.11.2018 оставил(а) комментарий:
Теорема о биссектрисе угла:
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, которые пропорциональны соответствующим прилежащим сторонам данного треугольника.

Доказательство.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и биссектрису AD угла BAC. Из свойства биссектрисы вытекает равенство углов BAD и DAC.
Продолжим отрезок AC за вершину А треугольника ABC.
Через вершину В треугольника ABC проведем прямую, которая параллельна биссектрисе AD. Точку пересечения проведенных прямых обозначим буквой E.
Докажем равенство отрезков AB и AE.
Для доказательства обратим внимание на равенство угла EBA и угла BAD как внутренних накрест лежащих при двух параллельных AD и EB и секущей АВ.
Также обратим внимание на равенство угла BEA и угла DAC как соответственных при двух параллельных прямых AD и EB и секущей АС.
Следовательно углы EBA и BEA равны между собой, из чего также следует, что треугольник ВЕА – равнобедренный, то есть отрезки AE и AB равны.
Воспользуемся теоремой Фалеса и составим пропорцию:



Из пропорции следует пропорциональность прилежащих сторон и отрезков, на которые делит биссектриса противоположную сторону треугольника.
Теорема доказана.
0 shurik
20.11.2018 оставил(а) комментарий:
Теорема (свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство. Пусть ABC – данный равнобедренный треугольник с основанием AB и CD – медиана, проведённая к основанию (рис. 53).



Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны AC и BC равны, потому что треугольник ABC равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Сторона AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB.)
Из равенства треугольников следует равенство углов: угол ACD = углу BCD, угол ADC = углу BDC. Так как углы ACD и BCD равны, то CD – биссектриса. Так как углы ADC и BDC смежные и равны, то они прямые, поэтому CD – высота треугольника.
avatar