Главная » Вопросы » Школа » Геометрия

Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников
Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников.
Категория: Геометрия | Добавил: Olediva (31.10.2018)
Просмотров: 134 | Ответы: 3 | Рейтинг: 5.0/2
Ответов: 3
0 Šøбłǻзŋ
31.10.2018 оставил(а) комментарий:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны между собой.

Доказательство:
Пусть АВС и А₁В₁С₁ — треугольники, у которых АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁ и угол А = углу А₁.
1. Отложим угол В₁А₁С₁ в той же полуплоскости с границей АС, где лежит угол ВАС, так, чтобы сторона А₁С₁ совпала со стороной АС.
2. Так как угол ВАС = углу В₁А₁С₁, то по аксиоме откладывания угла, лучи АВ = А₁В₁.
3. Так как АВ = А₁В₁, то аксиоме единственности откладывания отрезка на луче точка В₁ совпадает с точкой В, точка С₁ совпадает с точкой С. Следовательно ВС совпадает с В₁С₁. Тогда совпадают все углы и стороны треугольников АВС и А₁В₁С₁. Теорема доказана.
0 МихалычЪ
31.10.2018 оставил(а) комментарий:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА₁В₁С₁.
АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ∠А = ∠А₁.
Доказать: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:

Наложим треугольники друг на друга так, чтобы угол А совпал с углом А₁.
Тогда совпадут и лучи АВ с А₁В₁ и АС с А₁С₁.
Так как АВ = А₁В₁, точки В и В₁ совпадут.
Так как АС = А₁С₁, точки С и С₁ тоже совпадут.
Через две точки можно провести единственную прямую, поэтому совпадут и отрезки ВС и В₁С₁.
Так как треугольники совпали при наложении - они равны.
0 AlaEva
20.11.2018 оставил(а) комментарий:
Первый признак равенства треугольников - Теорема. (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A₁B₁C₁ угол A = углу A₁, AB=A₁B₁, AC=A₁C₁.



Докажем, что треугольники равны.

Пусть A₁B₂C₂ - треугольник, равный треугольникуABC, с вершиной B₂ на луче A₁B₁ и вершиной C₂ в той же полуплоскости относительно прямой A₁B₁, где лежит вершина C₁.



Так как A₁B₁=A₁B₂, то вершина B₂ совпадает с вершиной B₁ (рис. 45, б). Так как угол B₁A₁C₁= углу B₂A₁C₂, то луч A₁C₂ совпадает с лучом A₁C₁ (рис. 45, в). Так как A₁C₁=A₁C₂, то вершина C₂ совпадает с вершиной C₁ (рис. 45, г).
Итак, треугольник A₁B₁C₁ совпадает с треугольником A₁B₂C₂, значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.

В начале доказательства рисуют треугольник A₁B₂C₂ равный треугольнику ABC с вершиной B₂ на луче A₁B₁ и вершиной C₂ в той же полуплоскости относительно прямой A₁B₁, где лежит вершина C₁. Такой треугольник существует по аксиоме о существовании треугольника, равного данному (каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой).
Затем утверждается совпадение вершин B₁ и B₂ на том основании, что A₁B₁ = A₁B₂. Здесь используется аксиома откладывания отрезков (на любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один).
Далее утверждается совпадение лучей A₁C₂ и A₁C₁ на том основании, что B₂A₁C₁ = B2A₁C₂. Здесь используется аксиома откладывания углов (от любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один).
Наконец, утверждается совпадение вершин C₁ и C₂, так как A₁C₁ = A₂C₂. Здесь снова используется аксиома откладывания отрезков (на любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один).
Итак, при доказательстве теоремы используются аксиомы откладывания отрезков и углов и аксиома о существовании треугольника, равного данному.
avatar